Việc xây dựng tính trực giao của vectơ được thúc đẩy bởi mong muốn mở rộng trực quan khái niệm về sự vuông góc của các vectơ cho các không gian có chiều cao hơn. Trong mặt phẳng Descartes, hai vectơ được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng là 90° (tức là nếu chúng tạo thành một góc vuông). Định nghĩa này có thể được hình thức hóa trong không gian Descartes bằng khái niệm tích vô hướng và xác định rằng hai vectơ trong mặt phẳng là trực giao nếu tích vô hướng của chúng bằng 0.

Tương tự, việc xây dựng khái niệm chuẩn của một vectơ được thúc đẩy bởi mong muốn mở rộng trực quan khái niệm về độ dài của một vectơ cho các không gian có số chiều cao hơn. Trong không gian Descartes, chuẩn của một vectơ là căn bậc hai của tích vô hướng của vectơ đó với chính nó. Tức là,

‖ x ‖ = x ⋅ x {\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}}

Nhiều kết quả quan trọng trong đại số tuyến tính liên quan tới tập hợp hai hay nhiều các vectơ trực giao. Nhưng thường xuyên, sẽ dễ dàng hơn nếu ta xử lý với các vectơ có chiều dài bằng đơn vị. Tức là, sẽ đơn giản hơn nếu chỉ xét các vectơ với chuẩn bằng 1. Việc giới hạn các cặp vectơ trực giao về các vectơ có độ dài đơn vị là đủ quan trọng để có tên gọi riêng. Hai vectơ vừa trực giao và có độ dài 1 được gọi là trực chuẩn.

Ví dụ đơn giản

Một cặp vectơ trong không gian Euclid 2D sẽ trông như thế nào?

Cho u = (x1, y1) và v = (x2, y2). Xét các ràng buộc trên x1, x2, y1, y2 để làm u và v trở thành một cặp trực chuẩn.

• Theo điều kiện trực giao ta có u • v = 0.
• Theo điều kiện độ dài đơn vị với u, ta có ||u|| = 1.
• Theo điện kiện độ dài đơn vị với v, ta có ||v|| = 1.

Khai triển các điều kiện trên ta có hệ 3 phương trình:

1. x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 {\displaystyle x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\quad }
2. x 1 2 + y 1 2 = 1 {\displaystyle {\sqrt {{x_{1}}^{2}+{y_{1}}^{2}}}=1}
3. x 2 2 + y 2 2 = 1 {\displaystyle {\sqrt {{x_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}}}=1}

Đổi từ hệ tọa độ Descartes sang tọa độ cực, và xét các phương trình ( 2 ) {\displaystyle (2)} và ( 3 ) {\displaystyle (3)} thu được ngay kết quả r1 = r2 = 1. Nói cách khác, yêu cầu các vectơ phải có độ dài đơn vị ràng buộc các vectơ phải nằm trên đường tròn đơn vị.

Sau khi thế, phương trình ( 1 ) {\displaystyle (1)} trở thành cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 + sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 2 = 0 {\displaystyle \cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}=0} . Biến đổi để có tan ⁡ θ 1 = − cot ⁡ θ 2 {\displaystyle \tan \theta _{1}=-\cot \theta _{2}} . Sử dụng đẳng thức lượng giác chuyển đổi cotang để có

tan ⁡ ( θ 1 ) = tan ⁡ ( θ 2 + π 2 ) {\displaystyle \tan(\theta _{1})=\tan \left(\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}\right)} ⇒ θ 1 = θ 2 + π 2 {\displaystyle \Rightarrow \theta _{1}=\theta _{2}+{\tfrac {\pi }{2}}}

Rõ ràng trong mặt phẳng, các vectơ trực chuẩn đơn giản là các bán kính của đường tròn đơn vị cách nhau các góc bằng 90°.